CALCULO aPROXIMADO

1. Introdução

O presente trabalho da cadeira de Matemática versa sobre Cálculo Aproximado.

Com este trabalho pretendo abordar sobre soma, diferença, produto e quociente entre números aproximados.

De salientar que ao realizamos cálculos precisamos estabelecer a confiança do valor encontrado, por vezes estes cálculos envolvem erros. O cálculo aproximado não se distancia desses erros, por isso é necessário tomar muita atenção.

O tema acima exposto submete-nos aos algarismos significativos. Estes são todos aqueles valores que são retirados diretamente do aparelho de medida excepto aqueles que não têm significado físico, cuja única função é indicar qual é a ordem de grandeza do número e que variam continuamente durante a medição.

2. Cálculo Aproximado

2.1. Regras de cálculo

Importa referir a prior que as regras de cálculo a partir de valores experimentais é necessário estar consciente do seguinte facto: um valor experimental não pode ser visto do ponto de vista aritmético. O número 2 aritmético é inequívoco, representa apenas 2 unidades. O valor experimental 2 representa um valor medido limitado pela resolução do aparelho. É constituído por duas unidades seguidas de casas decimais não resolúveis desconhecidas:

2.??? ….

2.2. Algarismos significativos

Definição: denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismos exatos acrescidos de um único algarismo duvidoso.

Algarismos significativos são todos os algarismos diferentes de zero, quando lidos da esquerda para a direita.

O algarismo zero também é um algarismo significativo se estiver à direita do algarismo diferente de zero. Quando se convertem as unidades não deve haver alteração do número de algarismos significativos.

Exemplo:

3,7 - apresenta 2 algarismos significativos.

0,8 - apresenta 1 algarismo significativo;

0,00042 - tem 2 algarismos significativos, que são 4 e 2;

062,6 - tem 3 algarismos significativos;

0,000200 - tem 3 algarismos significativos, já que zeros à direita são significativos;

0,0263 = 0,263 . 10^-1 = 2,63 . 10^-2 = 26,3 . 10^-3 – tem 3 algarismos significativos.

2.2.1. Operações com algarismos significativos

2.2.1.1. A soma e a subtração

Na soma e na subtração, o elemento determinante do número de algarismos significativos do resultado de uma soma (ou subtração) é o número de casas decimais das parcelas e não o número de algarismos significativos das parcelas.

Consideremos os seguintes números: 3.284 e 2.5. O primeiro tem 3 casas decimais e o segundo 1 casa decimal (cd). Ao somarmos estes dois números vamos assinalar com “?” os algarismos desconhecidos:

Todos os algarismos do resultado são por isso desconhecidos até ao centésimo da unidade porque resultam da adição de dois algarismos em que pelo menos um é desconhecido.

Podemos então concluir que na soma (e na subtração) o número de casas decimais do resultado é igual ao número de casas decimais da parcela com menos casas decimais.

Na prática a conta não se faz desta forma. Faz-se adicionando os números com todos os algarismos:

(adição)

e depois arredonda-se o resultado até à décima. Ou seja, o resultado da soma é 5.8. Quando fazemos uma conta a partir de dados experimentais quantas casas decimais devemos usar nos cálculos intermédios?

Podemos (e devemos) guardar pelo menos uma casa decimal a mais (5.78). O ideal é utilizar o máximo possível (e.g. todas as fornecidas por uma máquina de calcular). No fim dos cálculos devemos considerar apenas as casas decimais significativas (arredondando).

2.2.1.2. Multiplicação e divisão

A multiplicação e a divisão O elemento determinante do número de algarismos significativos do resultado de uma multiplicação (ou divisão) é o número de algarismos significativos dos factores e não o número de casas decimais dos factores.

Consideremos os seguintes números: 58.9 e 5.1. O primeiro tem 4 algarismos significativos e o segundo tem 3 algarismos significativos. Ao multiplicarmos estes dois números vamos assinalar com “?” os algarismos desconhecidos:

Todos os algarismos do resultado são por isso desconhecidos até à décima porque resultam da adição de três algarismos em que pelo menos um é desconhecido.

Podemos então concluir que na multiplicação (e na divisão) o número de algarismos significativos do resultado é igual ao número de algarismos significativos do factor com menos algarismos significativos.

Na prática a conta não se faz desta forma. Faz-se multiplicando os números com todos os algarismos:

e depois arredonda-se o resultado até à unidade. Ou seja, o resultado da multiplicação é 300.

Se for um cálculo intermédio podemos (e devemos) guardar pelo menos um algarismo significativo a mais (300.4). No fim dos cálculos devemos retirá-lo.

3. Casos especiais

O perímetro P de uma circunferência está relacionado com o raio R de acordo com a seguinte expressão: P = 2π R

Uma vez obtido um valor experimental para o raio este terá um certo número de algarismos significativos.

No cálculo do perímetro devemos ter em conta os seguintes factos:

O número 2 é inteiro e não tem origem experimental. Resulta apenas da matemática envolvida no desenvolvimento da equação. Como tal tem uma infinidade de algarismos significativos. De facto sabemos que o seu valor é 2.00 . . . = 2. [0]. Logo não terá qualquer influência no número de algarismos significativos do perímetro.

O número π é irracional e também não tem origem experimental. Já são conhecidos pelo menos 1012 dos algarismos do π. No entanto o número de algarismos de π que utilizarmos no cálculo poderá ter um impacto comparável (ou até maior) no resultado do perímetro que o erro experimental do raio. Devemos por isso utilizar um número de algarismos de π maior ou igual ao número de algarismos significativos de R. Ou seja devemos tratar ⇡ como se fosse um valor experimental cujo número de algarismos significativos não tenham influência sobre o número de algarismos significativos do resultado.

Suponhamos que R = (5.0 ± 0.1) cm (erro relativo de 2%):

ü Se utilizarmos π = 3, a discrepância de π é −0.14. . . (ou seja, de −4.5%). O valor de P será (30.0 ± 0.6) cm. Terá uma discrepância de −4.5%, superior (em módulo) ao erro relativo de 2%.

ü Se utilizarmos π = 3.1, a discrepância de π é −0.04 . . . (ou seja, de −1.3%). O valor de P será (31.0 ± 0.6) cm. Terá uma discrepância de −1.3%, da mesma ordem de grandeza (em módulo) que o erro relativo de 2%.

ü Se utilizarmos π = 3.14, a discrepância de π é −0.00159 . . . (ou seja, de −0.05%). O valor de P será (31.4 ± 0.6) cm. Terá uma discrepância não resolúvel. Basta verificarmos que o resultado final é desconhecido para ordens de grandeza inferiores à décima (limitação imposta pela resolução do aparelho de medição do raio).

4. Conclusão

Chegado ao fim do trabalho, concluiu que o estudo sobre os algarismos significativos é muito importante na vida estudantil, dado que possuindo estes conhecimentos que são considerados básicos o estudante é capaz de executar vários cálculos matemáticos de uma forma rápida facilitando a obtenção dos resultados.

De referir ainda que durante a investigação constatei factos importantes que importam mencionar:

Um arredondamento faz-se uma única vez. Por exemplo: . Se fizesse o arredondamento em várias etapas poderia concluir erradamente que
É possível diminuir o número de algarismos significativos de qualquer valor até haver só 1 algarismo significativo. Por exemplo: . O primeiro tem 2 algarismos significativos e o segundo tem 1 algarismo significativo.
Sempre que tiver dúvidas modifique o valor para o formato científico. O número de algarismos significativos do valor será o número de algarismos significativos da mantissa.